1 Mazuzil

Stetigkeit Beispiel Essay

Dieser Artikel behandelt den Begriff der Stetigkeit in der Mathematik. Für andere Bedeutungen siehe Kontinuität.

Die Stetigkeit(Kontinuität) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Genauer gesagt ist Stetigkeit eine Eigenschaft, die bestimmten Funktionen zwischen zwei topologischen Räumen zuerkannt wird. Funktionen, die diese Eigenschaft besitzen (die stetigen Funktionen), sind mit den topologischen Strukturen der beiden Räume verträglich. Stetige Funktionen spielen also in Topologie und Analysis eine ähnliche Rolle wie Homomorphismen in der Algebra.

Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn sie keine 'Sprünge' macht, oder etwas exakter ausgedrückt, wenn man die Änderung der Funktionswerte nach Belieben beschränken kann, indem man sich auf hinreichend kleine Änderungen im Argument beschränkt.

Einleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anschauliche Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion "springt" an der Stelle vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Stellt die Funktion einen Zusammenhang aus der Natur oder der Technik dar, so erscheint ein solches Verhalten als unerwartet (Natura non facit saltus). Stellt die Funktion zum Beispiel den Zusammenhang zwischen der beim Radfahren aufgebrachten Energie und der erreichten Geschwindigkeit dar, so wäre es überraschend, wenn eine minimale Steigerung der aufgewandten Energie an einer Stelle plötzlich zur Verdoppelung der Geschwindigkeit führte.

Auch in anderen Lebensbereichen erscheint eine solche Funktion seltsam. Stellt die Funktion zum Beispiel den Zusammenhang zwischen Arbeitszeit und Arbeitslohn dar, so ist es wiederum merkwürdig, dass an einer Stelle der Arbeitslohn verdoppelt wird, wenn die Arbeitszeit nur minimal steigt.

Der mathematische Begriff der Stetigkeit versucht die Funktionen exakt zu beschreiben, die ein solches 'willkürliches Verhalten' nicht haben. Die angegebene Funktion ist also nicht stetig, wobei sich die Unstetigkeit auf den Punkt einschränken lässt. Überall anders ist die Funktion stetig.

Das Konzept der Stetigkeit wurde zunächst für reelle und komplexe Funktionen entwickelt. Bei der Begründung des mathematischen Teilgebiets der Topologie zeigte sich aber, dass das Konzept sich natürlich auf dieses Gebiet erweitern lässt. Seitdem ist die Stetigkeit einer der Grundbegriffe der modernen Mathematik.

Beschränktheit der Anschauung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die obige Erklärung veranschaulicht zwar den Begriff der Stetigkeit recht gut, man sollte sich aber darüber im Klaren sein, dass diese Anschauung diverse Grenzen hat. Es ist daher unerlässlich, sich in der mathematischen Praxis immer auf die exakten Definitionen zu beziehen, die im Folgenden eingeführt werden.

Tatsächlich weist auch die Funktion

an der Stelle eine Verhaltensänderung auf. Die Funktion ist dort aber dennoch stetig. Die Verhaltensänderung kann man mathematisch erst fassen, wenn man die Ableitung von untersucht.

Die Wurzelfunktion ist auf stetig. Wenn man sich der Stelle nähert wird die Änderungsgeschwindigkeit aber immer größer. Im Wert 0 ist sie praktisch unendlich.

Betrachtet man schließlich Funktionen wie die Weierstraß-Funktion, so handelt es sich um eine im mathematischen Sinn stetige Funktion, bei der aber an keiner Stelle eine 'Änderungsrichtung' festgestellt werden kann (genauer: an den Graphen kann nirgendwo eine Tangente angelegt werden).

Umgekehrt wäre es falsch, die oben definierte Funktion als Prototyp einer unstetigen Funktion anzusehen. Einen solchen Prototyp erhält man eher dadurch, dass man sich vorstellt, der Wert der Funktion würde für jedes Argument unabhängig ausgewürfelt. Eine solche chaotische Funktion wäre überall unstetig. Es wäre aber auch unmöglich, sie graphisch darzustellen.

Kritisch hinterfragen kann man auch die Behauptung, dass natürliche Vorgänge stets durch stetige Funktionen modelliert werden können. Man betrachte etwa eine Billardkugel, die mit langsamer Geschwindigkeit auf eine Tasche zugespielt wird. Ist die Abstoßgeschwindigkeit zu gering, so bleibt die Kugel vor der Tasche liegen. Ab einer gewissen Abstoßgeschwindigkeit rollt die Kugel weit genug und fällt in die Tasche. Betrachtet man also die Anzahl der gefallenen Kugeln als Funktion der Abstoßgeschwindigkeit, so springt diese Funktion bei einem bestimmten Wert der Geschwindigkeit unstetig von 0 auf 1.

Dieser Überlegung kann man allerdings entgegenhalten, dass die physikalischen Bedingungen auf dem Billardtisch nie genau festgelegt sein können. In einem engen Bereich um die Grenzgeschwindigkeit hängt es von minimalen Umgebungsparametern (ein Windhauch mag ausreichen) ab, ob die Kugel fällt oder nicht. Daher ist es angemessen, den Vorgang dadurch zu modellieren, dass man jeder Abstoßgeschwindigkeit eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, mit der die Kugel fällt. Diese Wahrscheinlichkeit steigt dann in einem engen Intervall um die Grenzgeschwindigkeit zwar sehr schnell, aber doch stetig, von 0 nach 1.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition der Stetigkeit. Sie nannten eine Funktion stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offenlässt. Das heutzutage übliche --Kriterium wurde von Karl Weierstraß am Ende des 19. Jahrhunderts eingeführt.

Stetigkeit reeller Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt sei mit eine reelle Funktion.

Punktweise Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt sei fest.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(1) Die Funktion ist stetig in , wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle mit gilt: .

Intuitiv bedeutet dies, dass zu jeder Änderung des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man unstetig in .

Bemerkung: Statt von "Stetigkeit in " spricht man oft auch von "Stetigkeit im Punkt " oder "Stetigkeit an der Stelle ".

Es gibt zwei andere Bedingungen, die zu (1) äquivalent sind und daher auch manchmal zur Definition der Stetigkeit herangezogen werden:

(2) ist genau dann stetig in , wenn für jede gegen konvergente Folge , mit Elementen , die Folge gegen konvergiert.

(3) ist genau dann stetig in , wenn für jede Umgebung von in das Urbild eine Umgebung von in ist.

Die Bedingung (2), auch Folgenkriterium genannt, zeigt, warum stetige Funktionen in der Topologie eine ähnliche Bedeutung haben wie Homomorphismen in der Algebra. Ein Homomorphismus zeichnet sich nämlich dadurch aus, dass man die Reihenfolge von Funktionsausführung und Rechenoperation(en) vertauschen kann. In analoger Weise kann man bei einer stetigen Funktion die Reihenfolge von Funktionsausführung und Grenzwertbildung vertauschen.

Grundlegende Eigenschaften der Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Eigenschaften lassen sich alle leicht, z.B. mit dem Folgenkriterium, nachweisen.

(4) Ist ein isolierter Punkt in , so ist die Bedingung immer erfüllt.

(5) Ist konstant, so ist die Bedingung immer erfüllt.

(6) Ist und die Identische Abbildung, so ist die Bedingung immer erfüllt.

In der Praxis untersucht man meist Funktionen, deren Definitionsbereich ein reelles Intervall ist. Reelle Intervalle mit mehr als einem Element besitzen keine isolierten Punkte.

Änderung von Definitionsbereich und Zielmenge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(7) Ist eine weitere Menge, die das Bild von umfasst, so kann man auch als Funktion nach auffassen. Diese Funktion ist genau dann stetig in , wenn es die ursprüngliche ist.

(8) Ist eine Teilmenge von , die enthält, so folgt aus der Stetigkeit von in auch die Stetigkeit der auf eingeschränkten Funktion in .

(9) Die Umkehrung von (8) gilt, wenn eine Umgebung von in ist.

Permanenzeigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir nehmen an, dass stetig in ist.

(10) Sei und eine weitere reelle Funktion. Ist stetig in , so ist die Komposition stetig in .

(11) Wir nehmen an, dass (was wegen (7) keine Einschränkung ist). Weiterhin sei eine weitere in stetige Funktion. Dann sind die punktweise definierten Funktionen , und ebenfalls in stetig. Im letzten Fall muss noch angenommen werden, dass keine Nullstelle in besitzt.

Man beachte, dass aus (5) und (11) folgt, dass beliebige Linearkombinationen von in stetigen Funktionen wieder stetig in sind.

Stetigkeit als globale Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

ist stetig in 0 und an jeder anderen Stelle unstetig. Dieses Beispiel zeigt, dass die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt noch wenig über das Verhalten der Funktion insgesamt aussagt. In der Praxis interessiert man sich daher vor allem für Funktionen, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig sind. Solche Funktionen werden dann als stetige Funktionen bezeichnet. Eine stetige Funktion kann also definiert werden als eine Funktion, die eine (und damit alle) der Bedingungen (1)-(3) in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches erfüllt. Es gibt aber noch zwei weitere äquivalente Bedingungen, die diesen Stetigkeitsbegriff charakterisieren:

(12)

Graphische Veranschaulichung der Funktion

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